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原问题
：为甚么谐振子能量是为甚维量分立的 ？《张背阴的物理课》求解一维量子谐振子

为甚么谐振子的能量是分立的？一维谐振子的波函数是奈何样的？7月2日12时 ，《张背阴的谐振谐振物理课》第154期开播，搜狐独创人、分立董事局主席兼CEO
、张的物物理学博士张背阴坐镇搜狐视频直播间，背阴从一维谐振子的理课薛定谔方程动身 ，经由变量代换将方程化成为了颇为简洁的求解方式，而后经由火析方程的为甚维量解的渐近行动患上到其指数衰减部份，最后经由幂级数系数的谐振谐振递推关连患上到了波函数的另一部份 ，而且求出了谐振子各个能级所对于应的分立能量 。

变量代换化简薛定谔方程 合成渐近行动患上指数衰减部份

课程一起头 ，张的物张背阴给网友们介绍了量子力学对于物资妄想的背阴紧张性。假如不量子力学
，理课那末原子将不会是求解晃动的妄想
，响应的为甚维量物资也不会晃动地存在  。正是由于量子力学的存在，才会使患上各个原子对于应能态都是同样的，百万年前的基态氢原子与如今的基态氢原子不任何差距。处于基态的原子也不会由于受到一点扰动而变患上不晃动
。假如氢原子可能向典型力学那样不断地变更 ，其电子就会像行星绕着恒星行动那样，具备不断的绕核轨道，这样确定会导致氢原子之间存在千差万别 ，原子妄想也会变患上再也不晃动，明天的你以及明天的你都不用定是统一总体了。

介绍完布景 ，张背阴开始合成一维量子谐振子。一维谐振子是物理学中每一每一碰着的模子
，不论是典型层面的谐振子，仍是量子层面的谐振子 ，在以前的物理课中都有过详细的教学
。这次直播课再次回到谐振子上 ，以愈加详细的方式妨碍了阐释。一维谐振子的势能为

由此可能患上到一维谐振子的哈密顿算符在位置表象下的方式为

其中m是粒子的品质，ω=√(k/m)是谐振子对于应的简谐行动角频率。对于薛定谔方程

对于其妨碍分说变量之后可能患上到定态薛定谔方程

将哈密顿算符的表白式代入，可能患上到

上式双方同时除了以-ћ^2/(2m) ，适量变形可患上

为了简化起见，界说

那末前一式可能简写为

这样界说出从上式可能看出 ，界说ξ=αx可能进一步简化表白式，进一步的 ，由于α具备长度的倒数的量纲，来的ξ将是无穷纲的量。借助变量ξ，可能患上到如下方程
：

在从前的课程中张背阴介绍过可能运用幂级数法来求解这一类的方程。假如设

将其代入前一个款式而后并吞ξ的同类项
 ，那末会患上到一个新的对于ξ的幂级数。这个新的幂级数的系数与原幂级数的系数具备奈何样的关连呢
？为此，可能思考新幂级数的ξ^k项 ，在前面倒数第二个款式中 ，对于ξ的二阶导数将会让幂级数的项的次数减2，因此经由二阶导数之落伍献给ξ^k项的项确定是a_{ k+2}ξ^{ k+2}。接下来审核(λ-ξ^2)对于应的项 ，简略知道这一项会使患上a_kξ^k与a_{ k-2}ξ^{ k-2}贡献给新幂级数的ξ^k项 ，因此新幂级数的ξ^k项的系数是a_{ k+2}、a_k、a_{ k-2}三个系数的线性组合。假如让新幂级数即是0 ，那末将会患上到一个由a_{ k+2} 、a_k、a_{ k-2}组成的递推公式 ，这样的递推公式求解起来比力重大 ，因此需要追寻此外前途来简化所患上的递推公式。

一种可行的思绪是，先合成方程的解在自演化变患上很大时的趋向 ，而后再对于解的另一部份妨碍幂级数求解。为此，张背阴思考了ξ趋向于无穷大的情景，此时可能只思考方程中占主导位置的项
，方程可能简化为

经由审核这个方程 ，假如解的趋向与e^{ βξ^2}不同，其中β是一个待定的系数。将其代入上式 ，可患上

其中上式第一个约等号是由于假如了e^{ βξ^2}类似知足方程，最后一个约等号是由于在ξ趋向于无穷大的情景下惟独要思考占主要部份的项。比力上式最右侧与最右侧可患上β^2=1/4，以是β=±1/2。思考到定态波函数可归一化的要求，张背阴舍去了β>0的解。

患上到清晰的渐近行动之后
，张背阴设

将其代入原本的方程，消掉指数函数因子 ，化简可患上

其中的撇号数目展现对于ξ求导的次数。张背阴不在课上揭示若何推导出这个款式 ，但他鼓舞网友们自行试验将该款式推导进去 。

（张背阴凭证渐近行动分说出波函数的指数衰减部份）

幂级数措施患上递推关连 合成趋向患上能级表白式

接下来可能运用幂级数法来求解u(ξ)了。设

将其代入前面的方程，可能患上到一个新的幂级数 ，而且这个幂级数是恒即是0的
：

为了求出b_k的详细表白式 ，需要子细合成前面对于u(ξ)的方程的各项，好比u''项，会由原本的幂级数的a_{ k+2}ξ^{ k+2}项经由两次求导患上到

这一项
。其余各项也可能相似合成，详细的对于应关连如下：

由此患上到

思考到b_k=0，于是可能患上到u(ξ)幂级数的系数的递推公式 ：

以是

张背阴揭示网友们，这个递推关连是距离一项，从a0到a2再到a4 ，概况从a1到a3再到a5
，“跳着走的”。因此 ，可能将u(ξ)幂级数改写为

简略知道，上式中的u0以及u1知足

换言之，u0以及u1分说是u的偶函数部份以及奇函数部份。

另一方面，一维谐振子的势场是对于原点摆布对于称的，因此可能经由选取特定的能量本征态使患上对于应的多少率扩散也是对于原点对于称的。于是，为了知足多少率密度是对于原点对于称的，u(ξ)必需知足

可见u(ξ)要末是偶函数 ，要末是奇函数 。当u(-ξ)=u(ξ)时 ，由于

以是u1(ξ)=0 。同理，当u(-ξ)=-u(ξ)时，可能患上到u0(ξ)=0。因此 ，咱们不需要同时思考u0以及u1 ，在特定的奇偶性下惟独要径自思考u0概况u1即可 。对于u(-ξ)=u(ξ)的能级，此时u1(ξ)=0 ，惟独要思考

即可；对于u(-ξ)=-u(ξ)的能级 ，此时u0(ξ)=0，惟独要思考即可。

张背阴思考了u(-ξ)=u(ξ)的情景 ，对于u(-ξ)=-u(ξ)的情景，可能相似患上到。凭证递推公式 ，有

其中双感慨号展现对于偶数k的双阶乘，好比对于函数f(x)，那末f(k)!!展现

对于奇数k
，也可能界说响应的双阶乘 ：

回到a_{ k+2}的表白式中，对于(2k+1-λ)!!，此时至关于f(k)=2k+1-λ，于是

由于k的取值是距离2的  ，因此对于常数λ，存在非负偶数k0使患上

设ε=2k0+1-λ，于是

于是

其中 ，n=k/2。从这个服从可能看出 ，所有k>k_0的系数a_{ k+2}，其正负号都是同样的 。当ξ饶富大时
，u(ξ)的渐近行动由k>k_0的项抉择。而当k饶富大时，有

以是

（注 ：这个渐近等价关连严厉上来说是不建树的 ，假如要患上到后文想要的服从 ，则需要更详尽的合成。为了防止陷入啰嗦的数学细节中，咱们漠视其中的数学难点。）又由于

以是

于是，当ξ趋向于无穷大时，有

这就导致了

这个函数在全部实数轴上的积分是无穷大
，因此是无奈归一化的 。这是否象征着一维谐振子的定态方程无解呢？事实上并非如斯。思考a_{ k+2}的表白式，可能发现当k大于k0时有

可见当k大于k0时 ，a_{ k+2}是正比于ε的，因此，惟独ε=0，那末当k大于k0时 ，a_{ k+2}都即是0，此时u(ξ)的无穷级数截断成为了多项式。对于多项式u(ξ) ，波函数

确定是可能被归一化的 ，这时候前面碰着的矛盾就被化解了 。

对于ε=0 ，此时

前面品评辩说的都是u(-ξ)=u(ξ)的情景
，此时k0只能取非负偶数。对于u(-ξ)=-u(ξ)的情景，也同样会患上到上式，这种情景下k0取非负奇数
 。综合两种情景可能患上到λ=2k0+1
，其中k0可取恣意非负整数，于是λ只能取正奇数的值。

思考到

这样可能患上到

从这个服从可能发现两点
：一、谐振子的定态能量只能取离散的值 ，这是量子力学差距于典型力学的主要特色之一；二、一维量子谐振子的最低能量不是0，而是ћω/2 ，这便是谐振子驰名的零点能 。在典型力学中 ，谐振子可能处于原点行动不动，此时它的能量为0 ，由此可见零点能也反映了典型与量子的差距。

最后，张背阴还求解了k0比力小时的谐振子波函数。当k0=0时
，有

此时波函数为

当k0=1时，有

此时λ=2×1+1=3 ，以是

凭证递推关连 ，可能知道a五、a七、……都即是0  。于是波函数为

当k0=2时，有

此时λ=2×2+1=5，以是

凭证递推关连可能知道a六 、a八、……都即是0 。另一方面 ，有

以是波函数为

原则上 ，可能凭证递推关连求出谐振子恣意能级的波函数 。

（张背阴合成谐振子的能级与最低多少阶的波函数）

据清晰，《张背阴的物理课》于每一周周五 、周日三更12时在搜狐视频直播
，网友可能在搜狐视频APP“关注流”中搜查“张背阴” ，旁不雅直播及往期残缺视频回放；关注“张背阴的物理课”账号，魔难课程中的“知识点”短视频；此外 ，还可能在搜狐往事APP的“搜狐科技”账号上，阅览每一期物理课程的详细文章 。返回搜狐，魔难更多

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